דירוג משתמש: / 4
גרועהכי טוב 

למי מיועדת החוברת?

לתלמידים חזקים של 4 יחידות לימוד. החוברת עדכנית, כוללת את כל החומר הנדרש עפ"י חוזר מפמ"ר ס"ו1, בעלת הסברים יסודיים המדגישים את ההבנה המתמטית ובעלת תירגול רב!

תוכנית יה"ב איננה מאמינה בקיצורי דרך, אלא דוגלת בהסברים יסודיים המעוררים חשיבה מתמטית, המדגישים את הקשר בין האלגברה למשמעות הגרפית. יחד עם זאת הסדרוההדרגתיות הרבה בחוברת מביאים בסופו של דבר ללמידה מהירה יותר ולהספק רב יותר.

נושא זה של פונקציות רציונליות משולב ביתר חלקי השאלון, גם בפונקציה המעריכית והלוגריתמית וגם בפונקציות הטריגונומטריות, על כן נושא זה הוא הבסיסי והחשוב ביותר בשאלון 004.

נקודות הקושי העיקריות בהוראת הפונקציה הרציונלית שאלון 004: א. אסימפטוטות ב. ציור סקיצה

 

בחוברת זו ניתן מענה להוראת שני הנושאים הללו בדרך קלה וייחודית בדרכים שנותנות פתרון לבעייתיות עוד לפני ההיתקלות עם הקושי ונותנות "קביים" לתלמיד עוד לפני "הנפילה" (הכישלון), בדרך של הבנה המעוררת חשיבה מתמטית, עד כדי כך שתלמיד הלומד בחוברת זו לא מבין "מה קשה בחישוב אסימפטוטות ובציור סקיצה?!".

דרך הוראה ייחודית וקלה של ציור הסקיצה:

ציור הסקיצה מסתמך על ציור האסימפטוטות. ניתנים לתלמיד כלים פשוטים לציור הסקיצה, כך שהציור הופך לחלק הנעים ביותר בחקירת הפונקציה, מעין "פרס" שניתן על ההשקעה בחקירת הפונקציה.

א. הוראת האסימפטוטית בדרך של הבנה ולא בדרך טכנית.

בחוברת זו ניתן דגש לחישוב האסימפטוטות המקבילות לצירים, בדרך קלה ביותר המשלבת את החישובים האלגברים עם המשמעות הגרפית, ובסיומו התלמיד בטוח כי נושא זה הוא קל ביותר.

היציאה היא מתוך ניתוח הסקיצה, מהמשמעות הגרפית, אל הגדרת האסימפטוטה, מהניתוח האיכותי של הגרף אל ההסבר: "מה זו אסימפטוטה" ומשם אל ההגדרה המתמטית. דיון ב "X שואף לאינסוף" או "Y שואף לאינסוף" גם בניתוח הגרף וגם בהצבת מספרים גדולים מאוד בפונקציה ומשם באופן מדורג ביותר אל הרישום המתמטי של האסימפטוטות.

מתוך ההבנה המתמטית של נושא האסימפטוטות נבנים כלים פשוטים לחישוב מהיר וקל של האסימפט'

(עמ' 7).

ב. הוראת ציור הסקיצה בדרך קלה ביותר המסתמכת על הבנה ולא על טכניקה

בחוברת זו יש דגש רב על ההוראה של ציור סקיצה. בספרי לימוד אחרים בד"כ מובאות דוגמאות של חקירת פונקציות שונות ובסיומן מופיעה הסקיצה. לעומת זאת, בחוברת זו נלמדים העקרונות של ציור סקיצה בשלבים, כאשר מתחילים בחלק הידוע ולאחריו ניתן דגש רב לחלק החדש.

שלבים בסרטוט סקיצה:

א. סרטוט הנתונים בכל שלב כולל האסימפטוטות   ב. הגדלת ה"כובעון"   ג. הגרף עובר דרך כל הנק' בציור     ד. ציור האסימפטוטות ככלי עזר לסרטוט הסקיצה ("למרוח" את הפונק' על האסימפ')

ציור הסקיצה מודגם בשלבים, בכמה ציורים. דוג': 1. עמוד 8 א , 9א 2. עמ' 12א,ב   3. עמ' 15 א, עמ' 19 א

יחסי גומלין בין ציור הסקיצה לאסימפטוטה:

שימוש באסימפטוטה ככלי עזר לציור הסקיצה. עיקרון זה נלמד בנפרד עבור כל סוג של סקיצה, אך למעשה אלו הם אותם עקרונות, הנלמדים בכל הסקיצות.

לסיכום: פתרונות לקשיים המתעוררים אצל התלמידים בציור הסקיצה:

א. ללמד איך מציירים סקיצה במקום להראות את הסקיצה בכל פונקציה.

ב. יחסי גומלין בין אסימפטוטות לסקיצה או האסימפטוטה ככלי עזר לציור הסקיצה.

ג. הדרגתיות רבה בהוראת הסקיצה. בספרי הלימוד השונים, נלמדים בתחילה כל סוגי הנגזרות, ולאחר מכן

ניתנות מספר דוגמאות של חקירת פונקציה כשבסיום כל חקירה, ניתנת הסקיצה במלואה. לעומת זאת,

בחוברת זו כל סוג של פונקציה נלמד בנפרד וביסודיות, תוך דגש על הקשר שבין תוצאות החקירה לסקיצה.

ישנה התפתחות של כל סוג של סקיצה מתוך הסוג הקודם.

ד. לאחר עיסוק במספר פונקציות כאלה יש עצירה להכללה של החומר: עבודת סיכום ובוחן הכולל את כל סוגי

הסקיצות שנלמדו. דוגמאות:

1. עמודים: 3, 4, 8, 10 הכללה ושקיעה: תרגול כל סוגי הסקיצות, עבודת סיכום ובוחן.

2. עמודים: 11, 12, 14ב הכללה ושקיעה. 3. עמודים: 15 , 16, 19, 20 הכללה ושקיעה.

 

לימוד מתוך הבנה ולא לימוד טכניקה. דוגמאות נוספות:

1. "אין פתרון" – מה אין: אסימפטוטה או חיתוך עם הצירים או נקודת קיצון. עיסוק במשמעות הגרפית של

התכונה.

2. פונקציה יכולה לחתוך אסימפטוטה אופקית אך לא אסימפטוטה אנכית. מדוע?

3. דרכים שונות לפתחן לנושאים שונים, עם ההסבר המתמטי המיוחד לכל דרך! דוגמאות:

א. מציאת אסימפטוטה אנכית לפונקציות 1 +2X/ X   או 1 + X/2X בדרכים שונות (עמ' 10 )

ב. נוכיח כי הפונקציה עולה בכל תחומה ע"י נגזרת או ע"י הוכחה כי אין נקודות קיצון.

4. עיסוק בנקודות קצה התחום בדרך של הבנה ולא בדרך טכנית.

5. נגזרת שנייה – הסבר מתמטי מעמיק ולא למידה בע"פ בדרך טכנית, כולל הנימוק לגזירת המונה של 'Y

בלבד.

6. פונקציות ללא נקודות קיצון – ניתוח תוך הבנה, בשלבים:

7. סקיצות ואסימפטוטות מתוך הבנה מתמטית ולא תוך לימוד טכני ולמידה בע"פ.

 

שני עקרונות עיקריים המלווים את החוברת:

1. הדרגתיות רבה

כל נושא נבנה על הנושא הקודם ומתפתח ממנו כך שאין נושא חדש וקשה בכל פעם. הנושא מובנה ובנוי בשיטה של "נידבך על נידבך". החומר כל כך מדורג עד כדי "מדרגה בלתי מורגשת" בכל דף עבודה, כך שבסיום החוברת הנושא ברור וב"קלי קלות" והתלמיד שואל: "מתי נגיע לחומר הקשה?"

בסיום כל פרק ישנו "פסק זמן להפנמה והכללה": עבודת סיכום ובוחן מסכם.

2. סדר וארגון

סדר וארגון קיים גם בחוברת עצמה (הן מבחינה וויזואלית והן בסדר הנושאים) וגם בדרך שהתלמיד מתבקש לעבוד בה. בחוברת קיים סדר מובנה קבוע ומאורגן של פתרון תרגיל. כל תרגיל נפתר על פי אותו ארגון. ישנה דרך קבועה וברורה למציאת נקודות קיצון ודרך ברורה וקבועה למציאת פרמטר. התלמיד אינו מתלבט כיצד לפתור, אלא פונה אל הארגון שהוצע לו בחוברת. גם השיקולים למציאת האסימפטוטה וציור הסקיצה פשוטים, קבועים ומסודרים. שלבי העבודה מאורגנים וידועים: שלב א', שלב ב' וכו'. סדר בשלבי פתרון התרגיל בונה "סדר" גם בחשיבה של התלמיד. דרך זו חשובה במיוחד לתלמידים חזקים הנוטים לקצר ולדלג על שלבים וטועים בשל כך.

הסברים של נקודות מוקש "לפני שהתלמיד נפל". דוגמאות:

אסקיצות

ב. נגזרות קשות

- אימון מספיק וממוקד בנגזרות קשות, תשומת לב ממוקדת לכל נקודת קושי ולא סתם " מאות נגזרות".

- "מה עושים עם המינוס?"   -   -   עמוד 13 ב , עמוד 19 ב

- הוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים.

- הרבה תשומת לב למניעת טעויות בנגזרת הרי זהו אחד הגורמים העיקריים של חוסר הצלחה בחקירת הפונקציות!

ג. רמזים ותזכורת- לאורך כל הדרך, גם בתוך שיעורי-בית.

זוהי הסיבה שהפורמט הוא של חוברת ולא של ספר. הרמז נמצא בדיוק במקום בו התלמיד צריך אותו, למשל: באמצע או בסוף הפתרון של תרגיל בשיעורי בית. אפשר להשתמש בחוברת זו כספר לימוד עם הוראה פרונטלית וכתיבה במחברת, אך הרציונל הוא של "פורמט מחברת", לעזרה במקומות שהיא נדרשת.

איך רצוי ללמד נגזרות?

בניגוד למרבית הספרים, אין בחוברת זו עיסוק בכל סוגי הנגזרות של הפונקציה הרציונלית בבת אחת, כפתיחה לנושא. דרך זו היא משעממת ומייאשת את התלמיד. בחוברת זו יש אימון מספיק בנגזרות, אך בהדרגתיות. בתחילה מובאות נגזרות פשוטות ולאחר מכן חקירת פונקציות בעלות נגזרות דומות.

בהמשך, מובאות נגזרות בדרגת קושי גבוהה יותר, עם תזכורות ורמזים וחקירת פונקציות כאלה.

רק לבסוף מובאות הנגזרות הקשות ביותר, הכוללות למשל: (     )(     )-   או הכוללות הוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים. נגזרות קשות יותר אלה מובאות רק לאחר שהחומר הבסיסי שקע ולא בתחילת הנושא.

דוגמאות בעמודים: 19ב, 21ב, 23.

ולסיום... קצרים....

- ויזואליות רבה בחוברת, הנותנת כבוד לתלמיד ולמתמטיקה, ציורים גדולים וברורים.

- דגשים בנקודות מסוימות, כולל תזכורת ורמזים מופיעים במסגרות.

תרגילי אתגר- רשות. דוגמאות: עמוד 18 ב (רשות לפני הסבר)     או עמוד 22 ב

מאות שאלות וששה מקבצי שאלות מבחינות בגרות משנים קודמות.

מבחנים מובנים נתונים בחוברת במקום המתאים.

ממריץ מוטיבציה- למידה בדרך של בחנים מובנים וידועים המעוררת מוטיבציה ללמידה גם בבית.

- מאפשר למידה עצמית בבית- א. ערך כשלעצמו ב. נשאר זמן להעמקה של דיונים מתמטיים בכיתה

ג. תלמיד שמחסיר יכול להשלים את החומר   ד. תלמיד שלא הבין בכיתה יכול לנסות פעם נוספת בבית

ה. מקרים של חצאי כיתות שיצאו לטיול והפסידו את החומר הנלמד בכיתה.

אפשר להשתמש בחוברת כספר לימוד - עם למידה פרונטלית בכיתה ושיעורי בית מהחוברת במחברת.

היתרון: הסברים ברורים, מפורטים ובעלי ויזואליות ברורה, תזכורות והדרכות בתוך התרגיל.

- שאלון 004 ייצא בעתיד גם בפורמט של ספר ( מספר חוברות המאוגדות לספר).